引导者

## sin(arctan x) 的计算

简介

本文将详细解释如何计算 `sin(arctan x)`。我们将使用三角函数的基本定义、直角三角形以及三角恒等式来推导最终结果。

一、arctan x 的含义

`arctan x` 表示正切值为 `x` 的角度。换句话说，如果 `θ = arctan x`，则 `tan θ = x`。需要注意的是，`arctan x` 的值域为 `(-π/2, π/2)`。

二、利用直角三角形推导

1.

构建直角三角形:

我们可以构建一个直角三角形，其中一个角为 `θ = arctan x`。由于 `tan θ = x`，我们可以将该角的对边设为 `x`，邻边设为 `1`。2.

计算斜边:

根据勾股定理，斜边的长度为 `√(1² + x²) = √(1 + x²)`。3.

计算 sin θ:

根据三角函数的定义，`sin θ = 对边/斜边 = x / √(1 + x²)`。

三、最终结果

因此，`sin(arctan x) = x / √(1 + x²)`。

四、一些特殊情况的验证

x = 0:

`sin(arctan 0) = sin(0) = 0`，同时 `0 / √(1 + 0²) = 0`，结果一致。

x = 1:

`sin(arctan 1) = sin(π/4) = √2 / 2`，同时 `1 / √(1 + 1²) = 1 / √2 = √2 / 2`，结果一致。

x = -1:

`sin(arctan -1) = sin(-π/4) = -√2 / 2`，同时 `-1 / √(1 + (-1)²) = -1 / √2 = -√2 / 2`，结果一致。

五、总结

通过构建直角三角形并利用三角函数的定义，我们推导出 `sin(arctan x) = x / √(1 + x²)`。这个公式可以用来简化包含 `sin(arctan x)` 的表达式。

sin(arctan x) 的计算**简介**本文将详细解释如何计算 `sin(arctan x)`。我们将使用三角函数的基本定义、直角三角形以及三角恒等式来推导最终结果。**一、arctan x 的含义**`arctan x` 表示正切值为 `x` 的角度。换句话说，如果 `θ = arctan x`，则 `tan θ = x`。需要注意的是，`arctan x` 的值域为 `(-π/2, π/2)`。**二、利用直角三角形推导**1. **构建直角三角形:** 我们可以构建一个直角三角形，其中一个角为 `θ = arctan x`。由于 `tan θ = x`，我们可以将该角的对边设为 `x`，邻边设为 `1`。2. **计算斜边:** 根据勾股定理，斜边的长度为 `√(1² + x²) = √(1 + x²)`。3. **计算 sin θ:** 根据三角函数的定义，`sin θ = 对边/斜边 = x / √(1 + x²)`。**三、最终结果**因此，`sin(arctan x) = x / √(1 + x²)`。**四、一些特殊情况的验证*** **x = 0:** `sin(arctan 0) = sin(0) = 0`，同时 `0 / √(1 + 0²) = 0`，结果一致。* **x = 1:** `sin(arctan 1) = sin(π/4) = √2 / 2`，同时 `1 / √(1 + 1²) = 1 / √2 = √2 / 2`，结果一致。* **x = -1:** `sin(arctan -1) = sin(-π/4) = -√2 / 2`，同时 `-1 / √(1 + (-1)²) = -1 / √2 = -√2 / 2`，结果一致。**五、总结**通过构建直角三角形并利用三角函数的定义，我们推导出 `sin(arctan x) = x / √(1 + x²)`。这个公式可以用来简化包含 `sin(arctan x)` 的表达式。