引导者

## 运输问题的对偶问题### 简介运输问题是线性规划中经典的问题之一，它涉及到将货物从多个供应点以最低成本运输到多个需求点。每个供应点有一定的供应量，每个需求点有一定的需求量。解决运输问题可以找到最佳运输方案，以最小化总运输成本。运输问题的对偶问题提供了关于原始问题的宝贵信息，并可以用来简化求解过程。本文将详细介绍运输问题的对偶问题，包括其构造、解释和应用。### 1. 运输问题的数学模型首先，我们回顾一下运输问题的标准数学模型：

符号:

m:

供应点的数量

n:

需求点的数量

a_i:

供应点 i 的供应量 (i = 1, 2, ..., m)

b_j:

需求点 j 的需求量 (j = 1, 2, ..., n)

c_ij:

从供应点 i 运输到需求点 j 的单位运输成本

x_ij:

从供应点 i 运输到需求点 j 的货物量

目标函数:

最小化总运输成本: ``` Minimize Z = ∑<sub>i=1</sub><sup>m</sup> ∑<sub>j=1</sub><sup>n</sup> c<sub>ij</sub>x<sub>ij</sub> ```

约束条件:

供应约束:

每个供应点的发出货物量不能超过其供应量: ```∑<sub>j=1</sub><sup>n</sup> x<sub>ij</sub> ≤ a<sub>i</sub> , i = 1, 2, ..., m```

需求约束:

每个需求点的接收货物量必须满足其需求量:```∑<sub>i=1</sub><sup>m</sup> x<sub>ij</sub> ≥ b<sub>j</sub> , j = 1, 2, ..., n```

非负约束:

货物运输量必须是非负的: ```x<sub>ij</sub> ≥ 0 , i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n```### 2. 运输问题的对偶问题#### 2.1 对偶变量为了构造运输问题的对偶问题，我们为每条约束条件引入一个对偶变量:

u_i:

对应于供应点 i 的供应约束的对偶变量 (i = 1, 2, ..., m)

v_j:

对应于需求点 j 的需求约束的对偶变量 (j = 1, 2, ..., n)#### 2.2 对偶问题模型运输问题的对偶问题可以表示如下:

目标函数:

最大化总价值: ``` Maximize W = ∑<sub>i=1</sub><sup>m</sup> a<sub>i</sub>u<sub>i</sub> + ∑<sub>j=1</sub><sup>n</sup> b<sub>j</sub>v<sub>j</sub> ```

约束条件:

对偶约束:

每个变量组合 (u_i, v_j) 必须满足:```u<sub>i</sub> + v<sub>j</sub> ≤ c<sub>ij</sub> , i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n```

变量符号:

对偶变量 u_i 和 v_j 没有符号限制，可以是正数、负数或零。### 3. 对偶问题的解释

经济学解释:

在运输问题的背景下，对偶变量 u_i 可以解释为供应点 i 处每单位货物的“影子价格”，表示增加一单位供应量可以节省的成本。类似地，v_j 可以解释为需求点 j 处每单位货物的“影子价格”，表示增加一单位需求量需要增加的成本。对偶问题的目标函数最大化了所有供应点和需求点的总“影子价值”。

互补松弛定理:

如果原始问题的某个约束条件是松弛的（即不等式严格成立），那么对应的对偶变量的值为零。例如，如果供应点 i 的发出货物量小于其供应量，则 u_i = 0。

如果对偶问题的某个约束条件是松弛的，那么对应的原始变量的值为零。例如，如果 u_i + v_j < c_ij，则 x_ij = 0，表示从供应点 i 运输到需求点 j 的货物量为零。### 4. 对偶问题的应用

检验最优解:

对偶问题的最优解可以用来检验原始问题的解是否是最优解。根据对偶理论，如果原始问题和对偶问题都有可行解，并且它们的目标函数值相等，则这两个解都是最优解。

灵敏度分析:

对偶变量可以用来进行灵敏度分析，分析供应量、需求量和运输成本的变化对最优解和最优目标函数值的影响。

算法设计:

一些求解运输问题的算法利用了对偶问题的性质，例如网络单纯形法。### 总结运输问题的对偶问题提供了一种新的视角来理解和分析原始问题。对偶变量具有重要的经济意义，可以用来检验最优解，进行灵敏度分析，并为算法设计提供理论基础。

运输问题的对偶问题

简介运输问题是线性规划中经典的问题之一，它涉及到将货物从多个供应点以最低成本运输到多个需求点。每个供应点有一定的供应量，每个需求点有一定的需求量。解决运输问题可以找到最佳运输方案，以最小化总运输成本。运输问题的对偶问题提供了关于原始问题的宝贵信息，并可以用来简化求解过程。本文将详细介绍运输问题的对偶问题，包括其构造、解释和应用。

1. 运输问题的数学模型首先，我们回顾一下运输问题的标准数学模型：**符号:*** **m:** 供应点的数量 * **n:** 需求点的数量 * **a_i:** 供应点 i 的供应量 (i = 1, 2, ..., m) * **b_j:** 需求点 j 的需求量 (j = 1, 2, ..., n) * **c_ij:** 从供应点 i 运输到需求点 j 的单位运输成本 * **x_ij:** 从供应点 i 运输到需求点 j 的货物量**目标函数:**最小化总运输成本: ``` Minimize Z = ∑<sub>i=1</sub><sup>m</sup> ∑<sub>j=1</sub><sup>n</sup> c<sub>ij</sub>x<sub>ij</sub> ```**约束条件:*** **供应约束:** 每个供应点的发出货物量不能超过其供应量: ```∑<sub>j=1</sub><sup>n</sup> x<sub>ij</sub> ≤ a<sub>i</sub> , i = 1, 2, ..., m``` * **需求约束:** 每个需求点的接收货物量必须满足其需求量:```∑<sub>i=1</sub><sup>m</sup> x<sub>ij</sub> ≥ b<sub>j</sub> , j = 1, 2, ..., n``` * **非负约束:** 货物运输量必须是非负的: ```x<sub>ij</sub> ≥ 0 , i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n```

2. 运输问题的对偶问题

2.1 对偶变量为了构造运输问题的对偶问题，我们为每条约束条件引入一个对偶变量:* **u_i:** 对应于供应点 i 的供应约束的对偶变量 (i = 1, 2, ..., m) * **v_j:** 对应于需求点 j 的需求约束的对偶变量 (j = 1, 2, ..., n)

2.2 对偶问题模型运输问题的对偶问题可以表示如下:**目标函数:**最大化总价值: ``` Maximize W = ∑<sub>i=1</sub><sup>m</sup> a<sub>i</sub>u<sub>i</sub> + ∑<sub>j=1</sub><sup>n</sup> b<sub>j</sub>v<sub>j</sub> ```**约束条件:*** **对偶约束:** 每个变量组合 (u_i, v_j) 必须满足:```u<sub>i</sub> + v<sub>j</sub> ≤ c<sub>ij</sub> , i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n```* **变量符号:** 对偶变量 u_i 和 v_j 没有符号限制，可以是正数、负数或零。

3. 对偶问题的解释* **经济学解释:** 在运输问题的背景下，对偶变量 u_i 可以解释为供应点 i 处每单位货物的“影子价格”，表示增加一单位供应量可以节省的成本。类似地，v_j 可以解释为需求点 j 处每单位货物的“影子价格”，表示增加一单位需求量需要增加的成本。对偶问题的目标函数最大化了所有供应点和需求点的总“影子价值”。* **互补松弛定理:** * 如果原始问题的某个约束条件是松弛的（即不等式严格成立），那么对应的对偶变量的值为零。例如，如果供应点 i 的发出货物量小于其供应量，则 u_i = 0。* 如果对偶问题的某个约束条件是松弛的，那么对应的原始变量的值为零。例如，如果 u_i + v_j < c_ij，则 x_ij = 0，表示从供应点 i 运输到需求点 j 的货物量为零。

4. 对偶问题的应用* **检验最优解:** 对偶问题的最优解可以用来检验原始问题的解是否是最优解。根据对偶理论，如果原始问题和对偶问题都有可行解，并且它们的目标函数值相等，则这两个解都是最优解。 * **灵敏度分析:** 对偶变量可以用来进行灵敏度分析，分析供应量、需求量和运输成本的变化对最优解和最优目标函数值的影响。 * **算法设计:** 一些求解运输问题的算法利用了对偶问题的性质，例如网络单纯形法。

总结运输问题的对偶问题提供了一种新的视角来理解和分析原始问题。对偶变量具有重要的经济意义，可以用来检验最优解，进行灵敏度分析，并为算法设计提供理论基础。