引导者## 拉格朗日乘数法求最值例题### 简介拉格朗日乘数法是一种在约束条件下求函数极值的常用方法。它将约束优化问题转化为无约束优化问题，从而方便求解。本文将通过例题讲解拉格朗日乘数法的应用，并详细说明解题步骤。### 方法介绍假设我们要求函数 $f(x,y)$ 在约束条件 $g(x,y)=0$ 下的最大值或最小值。拉格朗日乘数法的步骤如下：1.
构造拉格朗日函数:
引入拉格朗日乘子 $\lambda$，构造拉格朗日函数：$$L(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda g(x,y)$$2.
求偏导数:
分别求 $L(x,y,\lambda)$ 对 $x$，$y$ 和 $\lambda$ 的偏导数，并令其等于零：$$\frac{\partial L}{\partial x} = 0$$$$\frac{\partial L}{\partial y} = 0$$$$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0$$3.
解方程组:
求解上述方程组，得到 $x$，$y$ 和 $\lambda$ 的值。4.
确定最值:
将求得的 $x$ 和 $y$ 代入原函数 $f(x,y)$ 中，即可得到函数在约束条件下的极值。需要注意的是，拉格朗日乘数法只能求得极值，还需要进一步判断是最大值还是最小值。### 例题
题目:
求函数 $f(x,y) = x^2 + y^2$ 在约束条件 $x + y - 1 = 0$ 下的最小值。
解题步骤:
1.
构造拉格朗日函数:
$$L(x,y,\lambda) = x^2 + y^2 + \lambda(x + y - 1)$$2.
求偏导数:
$$\frac{\partial L}{\partial x} = 2x + \lambda = 0$$$$\frac{\partial L}{\partial y} = 2y + \lambda = 0$$$$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = x + y - 1 = 0$$3.
解方程组:
解得 $x = \frac{1}{2}$，$y = \frac{1}{2}$，$\lambda = -1$.4.
确定最值:
将 $x = \frac{1}{2}$，$y = \frac{1}{2}$ 代入原函数，得：$$f(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2}$$因此，函数 $f(x,y) = x^2 + y^2$ 在约束条件 $x + y - 1 = 0$ 下的最小值为 $\frac{1}{2}$。### 总结本文介绍了拉格朗日乘数法求解函数在约束条件下的最值问题，并通过例题详细说明了解题步骤。拉格朗日乘数法是一种重要的数学工具，在多个领域都有广泛应用。
拉格朗日乘数法求最值例题
简介拉格朗日乘数法是一种在约束条件下求函数极值的常用方法。它将约束优化问题转化为无约束优化问题，从而方便求解。本文将通过例题讲解拉格朗日乘数法的应用，并详细说明解题步骤。
方法介绍假设我们要求函数 $f(x,y)$ 在约束条件 $g(x,y)=0$ 下的最大值或最小值。拉格朗日乘数法的步骤如下：1. **构造拉格朗日函数:** 引入拉格朗日乘子 $\lambda$，构造拉格朗日函数：$$L(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda g(x,y)$$2. **求偏导数:**分别求 $L(x,y,\lambda)$ 对 $x$，$y$ 和 $\lambda$ 的偏导数，并令其等于零：$$\frac{\partial L}{\partial x} = 0$$$$\frac{\partial L}{\partial y} = 0$$$$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0$$3. **解方程组:**求解上述方程组，得到 $x$，$y$ 和 $\lambda$ 的值。4. **确定最值:**将求得的 $x$ 和 $y$ 代入原函数 $f(x,y)$ 中，即可得到函数在约束条件下的极值。需要注意的是，拉格朗日乘数法只能求得极值，还需要进一步判断是最大值还是最小值。
例题**题目:** 求函数 $f(x,y) = x^2 + y^2$ 在约束条件 $x + y - 1 = 0$ 下的最小值。**解题步骤:**1. **构造拉格朗日函数:**$$L(x,y,\lambda) = x^2 + y^2 + \lambda(x + y - 1)$$2. **求偏导数:**$$\frac{\partial L}{\partial x} = 2x + \lambda = 0$$$$\frac{\partial L}{\partial y} = 2y + \lambda = 0$$$$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = x + y - 1 = 0$$3. **解方程组:**解得 $x = \frac{1}{2}$，$y = \frac{1}{2}$，$\lambda = -1$.4. **确定最值:**将 $x = \frac{1}{2}$，$y = \frac{1}{2}$ 代入原函数，得：$$f(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2}$$因此，函数 $f(x,y) = x^2 + y^2$ 在约束条件 $x + y - 1 = 0$ 下的最小值为 $\frac{1}{2}$。
总结本文介绍了拉格朗日乘数法求解函数在约束条件下的最值问题，并通过例题详细说明了解题步骤。拉格朗日乘数法是一种重要的数学工具，在多个领域都有广泛应用。
