引导者

运筹学对偶问题

简介

在运筹学中，对偶问题是一种与给定问题密切相关的数学优化问题。它允许我们从不同的角度来分析和解决给定问题，并提供了额外的见解和属性。

多级标题

对偶问题的构造

给定一个原始问题（称为初等问题），我们可以通过以下步骤构造其对偶问题：1.

最小化/最大化:

交换原始问题的目标和约束类型（即最小化变为最大化，反之亦然）。 2.

变量对应:

初等问题的决策变量成为对偶问题的约束变量，反之亦然。 3.

目标函数:

对偶问题的目标函数是初等问题约束中的系数和对偶变量的内积。 4.

约束条件:

对偶问题的约束条件是初等问题目标函数中的系数和初等变量的内积。

性质

对偶问题具有以下重要性质：

弱对偶定理:

对偶问题的最优值永远大于或等于初等问题的最优值。

强对偶定理:

如果初等问题和对偶问题都有界，则它们的最优值相等。

互补松弛定理:

如果初等问题的可行解满足对偶约束的一个子集，并且对偶问题的可行解满足初等限制的一个子集，则这些子集的交集是这两个问题的一个最优解。

应用

对偶问题在运筹学中有着广泛的应用，包括：

灵敏度分析:

研究目标函数和约束变化对最优解的影响。

影子价格:

计算约束对目标函数的潜在影响。

分解:

将大型优化问题分解为较小的子问题。

算法设计:

为初等问题开发高效的解决算法。

示例

考虑以下线性规划问题（称为初等问题）：``` 最小化 z = 2x + 3y 约束条件: x + 2y >= 5 x + y >= 3 x, y >= 0 ```通过应用上面概述的对偶构造步骤，我们可以获得其对偶问题：``` 最大化 w = 5p + 3q 约束条件: p + q <= 2 2p + q <= 3 p, q >= 0 ```其中 p 和 q 是对偶变量。解这两个问题，我们会发现它们的最优值相等，即 z

= w

= 11。这表明弱对偶定理和强对偶定理都成立。

**运筹学对偶问题****简介**在运筹学中，对偶问题是一种与给定问题密切相关的数学优化问题。它允许我们从不同的角度来分析和解决给定问题，并提供了额外的见解和属性。**多级标题****对偶问题的构造**给定一个原始问题（称为初等问题），我们可以通过以下步骤构造其对偶问题：1. **最小化/最大化:** 交换原始问题的目标和约束类型（即最小化变为最大化，反之亦然）。 2. **变量对应:** 初等问题的决策变量成为对偶问题的约束变量，反之亦然。 3. **目标函数:** 对偶问题的目标函数是初等问题约束中的系数和对偶变量的内积。 4. **约束条件:** 对偶问题的约束条件是初等问题目标函数中的系数和初等变量的内积。**性质**对偶问题具有以下重要性质：* **弱对偶定理:** 对偶问题的最优值永远大于或等于初等问题的最优值。 * **强对偶定理:** 如果初等问题和对偶问题都有界，则它们的最优值相等。 * **互补松弛定理:** 如果初等问题的可行解满足对偶约束的一个子集，并且对偶问题的可行解满足初等限制的一个子集，则这些子集的交集是这两个问题的一个最优解。**应用**对偶问题在运筹学中有着广泛的应用，包括：* **灵敏度分析:** 研究目标函数和约束变化对最优解的影响。 * **影子价格:** 计算约束对目标函数的潜在影响。 * **分解:** 将大型优化问题分解为较小的子问题。 * **算法设计:** 为初等问题开发高效的解决算法。**示例**考虑以下线性规划问题（称为初等问题）：``` 最小化 z = 2x + 3y 约束条件: x + 2y >= 5 x + y >= 3 x, y >= 0 ```通过应用上面概述的对偶构造步骤，我们可以获得其对偶问题：``` 最大化 w = 5p + 3q 约束条件: p + q <= 2 2p + q <= 3 p, q >= 0 ```其中 p 和 q 是对偶变量。解这两个问题，我们会发现它们的最优值相等，即 z* = w* = 11。这表明弱对偶定理和强对偶定理都成立。