引导者

## 拉格朗日乘子法例题### 简介拉格朗日乘子法是一种用于求解约束条件下多元函数极值的方法。它通过引入新的变量（拉格朗日乘子）将约束优化问题转化为无约束优化问题，从而简化求解过程。### 例题

问题：

求解函数 $f(x,y) = x^2 + y^2$ 在约束条件 $g(x,y) = x + y - 1 = 0$ 下的最大值和最小值。

解题步骤：

1.

构造拉格朗日函数：

引入拉格朗日乘子 $\lambda$，构造拉格朗日函数：$$ L(x, y, \lambda) = f(x,y) + \lambda g(x,y) = x^2 + y^2 + \lambda(x + y - 1) $$2.

求解偏导数：

分别对 $x$，$y$ 和 $\lambda$ 求偏导数，并令其等于零：$$ \begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial x} &= 2x + \lambda = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} &= 2y + \lambda = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} &= x + y - 1 = 0 \end{aligned} $$3.

解方程组：

解上述方程组，得到：$$ x = \frac{1}{2}, \quad y = \frac{1}{2}, \quad \lambda = -1 $$4.

判断极值：

由于只有一个解，我们可以通过比较函数值或使用二阶条件来判断极值。 -

方法一：比较函数值

由于 $f(x,y) = x^2 + y^2$ 表示一个圆，而约束条件 $x + y - 1 = 0$ 表示一条直线，直线与圆相交于两点，其中一点即为我们求得的解 $(x,y) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$。 我们可以任取另一个满足约束条件的点，例如 $(x,y) = (1,0)$，计算得到 $f(1,0) = 1 > \frac{1}{2} = f(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$，因此可以判断 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 为函数 $f(x,y)$ 在约束条件 $g(x,y) = 0$ 下的最小值点。-

方法二：使用二阶条件 (Hessian 矩阵)

本题中，Hessian 矩阵为：$$H = \begin{bmatrix}\frac{\partial^2 L}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 L}{\partial x \partial y} \\\frac{\partial^2 L}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 L}{\partial y^2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & 0 \\0 & 2\end{bmatrix}$$由于 Hessian 矩阵正定，因此可以判断 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 为函数 $f(x,y)$ 在约束条件 $g(x,y) = 0$ 下的最小值点。

结论：

函数 $f(x,y) = x^2 + y^2$ 在约束条件 $g(x,y) = x + y - 1 = 0$ 下的最小值为 $f(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$，没有最大值。### 总结拉格朗日乘子法提供了一种有效的方法来解决约束优化问题。 通过引入拉格朗日乘子，我们可以将约束条件纳入目标函数中，并使用偏导数和方程组求解。 需要注意的是，拉格朗日乘子法只能找到局部极值，需要结合其他方法来判断全局极值。

拉格朗日乘子法例题

简介拉格朗日乘子法是一种用于求解约束条件下多元函数极值的方法。它通过引入新的变量（拉格朗日乘子）将约束优化问题转化为无约束优化问题，从而简化求解过程。

例题**问题：** 求解函数 $f(x,y) = x^2 + y^2$ 在约束条件 $g(x,y) = x + y - 1 = 0$ 下的最大值和最小值。**解题步骤：**1. **构造拉格朗日函数：**引入拉格朗日乘子 $\lambda$，构造拉格朗日函数：$$ L(x, y, \lambda) = f(x,y) + \lambda g(x,y) = x^2 + y^2 + \lambda(x + y - 1) $$2. **求解偏导数：**分别对 $x$，$y$ 和 $\lambda$ 求偏导数，并令其等于零：$$ \begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial x} &= 2x + \lambda = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} &= 2y + \lambda = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} &= x + y - 1 = 0 \end{aligned} $$3. **解方程组：**解上述方程组，得到：$$ x = \frac{1}{2}, \quad y = \frac{1}{2}, \quad \lambda = -1 $$4. **判断极值：**由于只有一个解，我们可以通过比较函数值或使用二阶条件来判断极值。 - **方法一：比较函数值** 由于 $f(x,y) = x^2 + y^2$ 表示一个圆，而约束条件 $x + y - 1 = 0$ 表示一条直线，直线与圆相交于两点，其中一点即为我们求得的解 $(x,y) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$。 我们可以任取另一个满足约束条件的点，例如 $(x,y) = (1,0)$，计算得到 $f(1,0) = 1 > \frac{1}{2} = f(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$，因此可以判断 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 为函数 $f(x,y)$ 在约束条件 $g(x,y) = 0$ 下的最小值点。- **方法二：使用二阶条件 (Hessian 矩阵)**本题中，Hessian 矩阵为：$$H = \begin{bmatrix}\frac{\partial^2 L}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 L}{\partial x \partial y} \\\frac{\partial^2 L}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 L}{\partial y^2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & 0 \\0 & 2\end{bmatrix}$$由于 Hessian 矩阵正定，因此可以判断 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 为函数 $f(x,y)$ 在约束条件 $g(x,y) = 0$ 下的最小值点。**结论：**函数 $f(x,y) = x^2 + y^2$ 在约束条件 $g(x,y) = x + y - 1 = 0$ 下的最小值为 $f(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$，没有最大值。

总结拉格朗日乘子法提供了一种有效的方法来解决约束优化问题。 通过引入拉格朗日乘子，我们可以将约束条件纳入目标函数中，并使用偏导数和方程组求解。 需要注意的是，拉格朗日乘子法只能找到局部极值，需要结合其他方法来判断全局极值。